Analizės egzas 3 sesija matematikams

Konspektas
 5
Microsoft Word 161 KB
27 puslapiai

c13, Pirmojo tipo kreivinio integralo apskaiciavimas ir savybes
Sakykime, glodziosios kreives L lygtis plokstumoje xOy yra y=y(x), .x [a;b] ,f(x, y) - tolydi tos kreives taskuose funkcija. Tos funkcijos israiska kreives L taskuose bus f(x, y(x)). Apskaiciuodami kreives lanko ilgi , suzinojome, kad stygos, jungiancios du kreives,dalijimo taskus, ilgis lygus . Si dydi galime laikyti apytiksle kreives lanko dalies ∆st reiksme, taigi (noredami islaikyti sio skyriaus zymenis, tarpini taska ci pazymejome xi). Tuomet (2) suma , turedami galvoje, kad yi = y(xi), uzrasysime taip:
Gautoji suma yra tarn tikros vieno kintamojo funkcijos integraline suma. Todel, apskaiciave riiba kai 0, (tuomet ir max ∆x i— >0), pirmojo tipo kreivini integrala isreiskiame apibreztiniu integralu (4)Taigi is esmes ds yra apibreztas kreives lanko ilgio diferencialas: Kai glodi plokscioji kreive L apibrezta parametrinemis lygtimis x = x (t), y = y (t), t [t0;T], tai , todėl . (5)Kai parametrinemis lygtimis x = x(f),y=y(t),z = z(t), t [t0; T] apibrezta erdvine kreive L, Kai glodi plokscioji kreive L poliniu koordinaciu sistemoje apibrezta lygtimi , tai ir .Įsitikinome, jog pirmojo tipo kreivinis integralas isreiskiamas apibreztiniu integralu. Zinome, kad apibreztinis integralas egzistuoja, kai pointegraline funkcija yra tolydi. Kai f(x, y) - tolydi glodziosios kreives L taskuose funkcija,tai ir irgi yra tolydi funkcija, nes del kreives L glodumo tolydzios yra funkcijos y(x) ir y'(x). Vadinasi, egzistuojant integralui , kartu egzistuoja ir integralas . Is ciaisplaukia, kad pirmojo tipo kreivinis integralas egzistuoja, kai f(x, y) – tolydi glodziosios kreives L taskuose funkcija.

14.Ap.Jeigu egzistuoja baigtine (0) sumos riba, kai ->0, nepriklausanti nuo orientuotos kreives L suskaidymo i dalis ir tasku Mi parinkimo, tai si riba vadinama antrojo tipo kreiviniu integralu kreive(arba keliu)L.Zymima taip: (1) Vadinasi .Kai Q (x, y) = 0,is kreivinio integralo (1)bendrosios israiskos gauname kreivini integrala o kai P (x, y) = 0,-integra . Kadangi integralai ir , paimti skyrium, irgi turi
prasme, tai is antrojo tipo kreivinio integralo apibrezimo isplaukia, kad Kai kreive L uzdara, (1)integrala zymime taip: .Palyginsime pirmojo ir antrojo tipo kreiviniu integralu apibrezimus, kartu isryskindami viena. esmini ju skirtumu Sudarydami (2)suma funkcijos reiksme tarpiniame taske dauginome is kreives lanko ilgio ∆si , o sudarydami (0) suma ,- is to lanko (kartu ir vektoriaus ∆s i) projekcijos asyje Ox (arba asyje Oy),bet ne is lanko ilgio ∆si.Kadangi lanko ∆s, ilgis nepriklauso nuo integravimo krypties, tai tos krypties pakeitimas neturi jtakos pirmojo tipo kreiviniam integralui. To negalima pasakyti apie antrojo tipo kreivini integrala nes...